Ejemplos Transformada Inversa de Laplace

Ejemplo 1: funciones de cocientes de polinomios racionales enteros – exponenciales senoidales en el tiempo

Determine la transformada inversa de Laplace de la función:  H(s)= \dfrac{2s^2+4s+2}{s^3 +4s^2 +6s+4}

Solución:

El denominador de la función se puede factorizar por división sintética, así:

1    4    6     4  |-2  -> raíz
    -2   -4    -4  
1    2    2   0   => s^2+2s+2

Resultando:H(s)=\dfrac{2s^2+4s+2}{(s+2)(s^2+2s+2)}

Las fracciones parciales asociadas a la fracción, son:

 H(s)=\dfrac{2s^2+4s+2}{(s+2)(s^2+2s+2)} = \dfrac{A}{s+2} + \dfrac{Bs+C}{s^2+2s+2}

Las constantes se evalúan a partir de la siguiente identidad:

A(s^2+2s+2)+(Bs+C)(s+2) \equiv 2s^2+4s+2

Para resolver la fracción parcial hacemos s=-2 en la identidad, obteniendo:

A(4-4+2)+0 =2(-2)^2+4(-2)+2 de donde: A=1.

Luego si hacemos s=0, nos queda: A(2)+C(2)=2 de donde: C=1-A=1-1=0.

Y finalmente, agrupando los términos en s^2 : A+B=2 de donde: B=2-1=1

Con esto nos queda: H(s)=\dfrac{1}{s+2} + \dfrac{s}{s^2+2s+2}

Sacando la transformada inversa a cada sumando, se obtiene:

h(t)=L^{-1} \left\{\dfrac{1}{s+2} \right\}+L^{-1} \left\{\dfrac{s}{s^2+2s+2}  \right\}

Para el primer término, usando la propiedad de traslación, sabemos que una traslación en s implica una función exponencial en el dominio del tiempo, esto es:

L \left\{  e^{-at}f(t) \right\}=F(s+a) o lo que es lo mismo: L^{-1} \left\{  F(s+a)\right\}=e^{-at}f(t)

Con lo cual, es claro que:  L^{-1} \left\{\dfrac{1}{s+2} \right\} = e^{-2t}L^{-1}\left\{ \dfrac{1}{s}\right\}=e^{-2t}u(t)

Para el segundo término: L^{-1} \left\{\dfrac{s}{s^2+2s+2}\right\}.  Re-escribimos el denominador como: (s+1)^2+1 con lo cual:

L^{-1}\left\{\dfrac{s}{s^2+2s+2}\right\}= L^{-1}\left\{\dfrac{s}{(s+1)^2+1}\right\}

Como es evidente que en el denominador existe una traslación en s=s+1, entonces re-escribimos la función como:

L^{-1}\left\{\dfrac{(s+1)-1}{(s+1)^2+1}\right\}=L^{-1}\left\{\dfrac{(s+1)}{(s+1)^2+1}\right\}-L^{-1}\left\{\dfrac{1}{(s+1)^2+1}\right\}

Sabemos que: L^{-1}\left\{\dfrac{s}{s^2+1}\right\}=\cos(t)u(t)L^{-1}\left\{\dfrac{1}{s^2+1}\right\}=\sin(t)u(t).

Por lo tanto, las transformadas inversas nos quedan:

L^{-1}\left\{\dfrac{(s+1)}{(s+1)^2+1}\right\}-L^{-1}\left\{\dfrac{1}{(s+1)^2+1}\right\}= e^{-t}\cos(t)u(t)-e^{-t}\sin(t)u(t)

Simplificando y agrupando términos, se obtiene finalmente:

h(t) = [e^{-2t} + e^{-t}\cos(t) - e^{-t}\sin(t)]u(t)

 

 

Con ayuda de Maxima:

Maxima cuenta con la función ilt(expr,s,t) para calcular la transformada inversa de la expresión dada.  En conjunción con la función partfrac() que permite expresar en función parciales, el ejemplo anterior, nos quedaría:

F(s):=(2*s^2+4*s+2)/(s^3+4*s^2+6*s+4)$
partfrac(F(s),s);Maxima
ilt(F(s),s,t);

cuyo resultado es:

s/(s^2+2*s+2)+1/(s+2)Maxima
%e^-t*(cos(t)-sin(t))+%e^(-2*t)

 

Como se puede observar, cualquier Transformada Inversa sobre una función que sea el cociente de dos polinomios racionales enteros (grado mayor en el denominador – fracción impropia), dará origen a combinaciones de funciones exponenciales y senoidales, ya que siempre las fracciones parciales serán términos de la forma \dfrac{A}{s+\alpha}     o     \dfrac{B}{(s+\alpha)^2+\omega^2}.

Por las tablas de funciones elementales, sabemos que: L\left\{ e^{-\alpha t}\sin(\omega t)u(t)\right\}=\dfrac{\omega}{(s+\alpha)^2+\omega^2}.

Entonces, en el caso en que tengamos la transformada inversa: L^{-1}\left\{\dfrac{B}{(s+\alpha)^2+\omega^2}\right\}, para llegar a la forma canónica de arriba solo hará falta multiplicar y dividir por \omega, esto es:

\dfrac{B}{\omega} L^{-1}\left\{ \dfrac{\omega}{(s+\alpha)^2+\omega^2}\right\}=\dfrac{B}{\omega}e^{-\alpha t}\sin(\omega t)u(t)

 

Ejemplo 2: funciones exponenciales e^{-sT}– periódicas en el tiempo

Determinar la transformada inversa de la función: F(s)=\dfrac{1}{s(1+e^{-s})}.

Solución:

Usando la expansión en series de potencia: \dfrac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+x^4-...(-1)^nx^n, la función se puede escribir como:

F(s)=\dfrac{1}{s}[1-e^{-s}+e^{-2s}-e^{-3s}+...(-1)^ne^{-n s}]

Recordando la propiedad de traslación temporal:

L \left\{ f(t-a)u(t-a)\right\}=e^{-as}F(s)  o lo que es lo mismo: L^{-1} \left\{e^{-as}F(s)\right\}=f(t-a)u(t-a).

Entonces, sacando inversa término a término, nos queda:

f(t)=L^{-1} \left\{\dfrac{1}{s}\right\}-L^{-1} \left\{\dfrac{e^{-s}}{s}\right\}+L^{-1} \left\{\dfrac{e^{-2s}}{s}\right\}+...(-1)^nL^{-1} \left\{\dfrac{e^{-ns}}{s} \right\}

f(t)=u(t)-u(t-1)+u(t-2)-u(t-3)+u(t-4)-u(t-5)+... = \sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^nu(t-n)

Observe que la función obtenida es la señal “tren de pulsos“, la cual es una señal periódica de período T=2.

Con ayuda de Maxima:

En este caso, el comando ilt() falla al tratar de encontrar la inversa, ya que tiene limitaciones con las inversas de funciones exponenciales en s (traslaciones temporales).

Vamos a usar las funciones singulares para realizar la gráfica de la función. La secuencia de comandos que definen la función encontrada es:

g(t):=unit_step(t);
f(t):=sum((-1)^n*g(t-n),n,0,10);
plot2d(f(t),[t,0,10],[y,0,1.1]);Maxima

Cuyo resultado es:

TrendePulsos

 

Ejemplo 3: Convolución vs propiedades de la transformada.

Determinar la transformada inversa de la función F(s)=\dfrac{2 s}{(s^2+4)^2}

Solución:

La función dada se puede escribir como el producto de dos funciones así:

F(s)=\left( \dfrac{2}{s^2+4}\right) \cdot \left( \dfrac{s}{s^2+4}\right)

Cuyas transformadas inversas individuales son conocidas:

L^{-1}\left\{ \dfrac{2}{s^2+4}\right\}= \sin(2 t)u(t)     y    L^{-1}\left\{ \dfrac{s}{s^2+4}\right\}= \cos(2 t)u(t)

Recordando la propiedad de convolución de  funciones temporales:

L \left\{ f(t)\otimes g(t)\right\}=F(s)G(s)   o equivalentemente: L^{-1}\left\{F(s)G(s) \right\}=f(t)\otimes g(t)

Podemos escribir, la inversa que nos interesa como:

L^{-1}\left\{ \left( \dfrac{2}{s^2+4}\right) \cdot \left( \dfrac{s}{s^2+4}\right)\right\}=L^{-1}\left\{ \dfrac{2}{s^2+4} \right\} \cdot L^{-1}\left\{ \dfrac{s}{s^2+4} \right\}= \sin(2t)u(t) \otimes \cos(2t)u(t)

Y usando la definición de la integral de convolución, deberemos resolver la integral: \sin(2t)u(t)\otimes\cos(2t)u(t)=\int_0^{t}{\sin(2(t-x))u(t-x)\cos(x)u(x)}dx

Para realizar dicha integral, lo primero debemos saber  es que el intervalo de integración nos indica que 0<x<t, por lo que las funciones u(t-x) y u(x) en dicho intervalo son unitarias.  Esto equivale a no tenerlas en cuenta en la realización de la integral, esto es:

\sin(2t)u(t) \otimes \cos(2t)u(t)=\int_0^{t}{\sin(2(t-x))\cos(x)}dx \cdot u(t)

Observe adicionalmente que los límites nos indican valores de t positivos, por lo que es conveniente multiplicar el resultado de la integral por la función u(t) (como se observa arriba).

La integral planteada es laboriosa ya que es necesario hacer uso de identidades trigonométricas para expandir la función \sin(2(t-x))=\cos(2t)\cos(2x)+\sin(2t)\sin(2x), con lo que resultan dos integrales.

Para simplificar el procedimiento, usamos Maxima para realizar la integral:

(%i1)ratsimp(integrate(sin(2*(t-x))*cos(2*x),x,0,t));
"Is "t" positive, negative or zero?"positive;
(%o2)(t*sin(2*t))/2Maxima

Entonces: \sin(2t)u(t) \otimes \cos(2t)u(t)=\int_0^{t}{\sin(2(t-x))\cos(x)}dx =\dfrac{t}{2}\sin(2t)u(t)

Finalmente, la transformada inversa es:

L^{-1}\left\{\dfrac{2 s}{(s^2+4)^2} \right\}=\sin(2t)u(t) \otimes \cos(2t)u(t)=\dfrac{t}{2}\sin(2 t)u(t)

Forma alterna usando propiedades:

Podemos ilustrar un procedimiento alterno para evitar la realización de la integral de convolución haciendo uso de las propiedades de la transformada y un poco de “astucia”😉.

El objetivo es buscar una función (conocida su inversa) a la cual le vamos a realizar un conjunto de operaciones que la lleven a convertirse en la función original dada F(s). Para esto se requiere la habilidad de escoger adecuadamente la función sobre la que hay que partir. Veamos:

Si partimos de la función F_1(s)=\dfrac{2}{s^2+4} cuya inversa es f_1(t)=\sin(2t)u(t).  Entonces al derivarla se obtiene:

\dfrac{dF_1(s)}{ds}=2\dfrac{-2s}{(s^2+4)^2}.  Observe que la función obtenida es similar a la función F(s), de hecho se puede escribir como: \dfrac{dF_1(s)}{ds}=2\dfrac{-2s}{(s^2+4)^2 }=-2 F(s)

Lo que quiere decir que podemos expresar la transformada inversa de F(s) en función de la función F_1(s) escogida, esto es:

L^{-1}\left\{  \dfrac{dF_1(s)}{ds} \right\}=-2 L^{-1}\left\{ F(s) \right\}

Recordando la propiedad de derivación en s (multiplicación por t):

L \left\{ t f(t)\right\}= -\dfrac{dF(s)}{ds} equivalentemente: L^{-1}\left\{\dfrac{dF(s)}{ds} \right\}=-tf(t)

Entonces podemos escribir:

L^{-1}\left\{ F(s) \right\}=\dfrac{-1}{2}L^{-1}\left\{\dfrac{dF_1(s)}{ds}\right\}=\dfrac{-1}{2}[-t f_1(t)]=\dfrac{t}{2}\sin(2t)u(t)

Con ayuda de Maxima:

El código es:

F(s):=2*s/(s^2+4)^2$
ilt(F(s),s,t);Maxima

Cuyo resultado es:

(t*sin(2*t))/2Maxima

Ejemplo 4: propiedades de la transformada.

Determinar la transformada inversa de la función: F(s)=\ln \left( \dfrac{s+1}{s-1} \right)

Solución:

En este caso es necesario realizar alguna operación sobre la función a fin de obtener una forma canónica de las transformadas elementales.  Primero, usando las propiedades de los logaritmos, escribamos la función como: F(s)=\ln(s+1)-\ln(s-1)

Si derivamos la función, se obtiene: \dfrac{dF(s)}{ds}= \dfrac{1}{s+1}-\dfrac{1}{s-1}

Cuyas funciones inversas conocemos: L^{-1}\left\{\dfrac{1}{s+1}\right\}=e^{-t}u(t)    y  L^{-1}\left\{\dfrac{1}{s-1}\right\}=e^{t}u(t).

De esta manera, sacando inversa a ambos lados de la expresión, nos queda:

L^{-1}\left\{\dfrac{dF(s)}{ds}\right\}=e^{-t}u(t)-e^{t}u(t)

Recordando la propiedad de derivación en s (multiplicar por t), entonces:

-tf(t)=e^{-t}u(t)-e^{t}u(t)

Y despejando: f(t)=-\dfrac{[e^{-t}u(t)-e^{t}u(t)]}{t} = -\dfrac{\sinh(t)}{t}u(t)

Con ayuda de Maxima:

En este caso el comando ilt() falla al determinar la inversa de expresiones logarítmicas.