Ejemplo Solución por series de E.D (E.D de Airy)

Resolver la E.D de Airy: y'' - x y=0 .

Solución:

Primero que todo, analizamos en la EDO los puntos ordinarios o singulares.  Si la EDO se escribe en la forma canónica: y''+p(x)y'+q(x)=0 , entonces puede verse que p(x)=0 y q(x)=-x, cuyas funciones son continuas en todo el dominio. De aquí vemos que x=0 es un punto ordinario. Esto implica que podemos realizar una expansión en series de potencias en torno a x=0 de la solución de la EDO.  La solución tendrá la forma:   y=\sum\limits_{k=0}^{\infty}c_k x^k .

Ya que la discontinuidad más cercana al punto x_0=0 está en el infinito (x_s =\infty ), entonces el intervalo de convergencia de la serie es: |x-0|<|0-\infty|, con lo cual:  -\infty <x<+\infty

Ahora vamos a proceder a solucionar la EDO de Airy.

1-Mediante derivación sucesiva (series de Maclaurin) :

De acuerdo con lo planteado previamente, x_0 = 0 es un punto ordinario de la ecuación diferencial y dado que no hay singularidades, la ecuación admite dos soluciones de la forma de Maclaurin en el dominio de los reales, así:

y(x)=c_0 + c_1x + c_2x^2 + c_3x^3 + c_4x^4 + \cdots + c_n x^n +\cdots

Los coeficientes c_n se obtienen por derivación sucesiva de la serie como: c_n=\dfrac{D^ny(0)}{n!}.  Donde D^n y(0) es la derivada n-ésima evaluada en x=0.

c_0 , c_1 son constantes arbitrarias, dadas por: c_0 =y(0) y c_1 = y'(0).

Por otro lado, partiendo de la E.D dada se tiene que :

y''(x)=xy(x) \Rightarrow y''(0)=0 \Rightarrow c_2=0

Derivando la ecuación anterior, se obtiene:

D^3y(x)=xy'(x)+y(x) \Rightarrow D^3y(0)=y(0)=c_0 \Rightarrow c_3=\dfrac{c_0}{3!}

Derivando nuevamente:

D^4y(x)=xy''(x)+2y'(x) \Rightarrow D^4y(0)=2y'(0)=2c_1 \Rightarrow c_4=\dfrac{2c_1}{4!}

D^5y(x)=xD^3y(x)+3y''(x)\Rightarrow D^5y(0)=0\Rightarrow c_5=0

D^6y(x)=xD^4y(x)+4D^3y(x) \Rightarrow D^6y(0)=4D^3y(0)=4c_0 \Rightarrow c_6=\dfrac{4c_0}{6!}

De manera similar puede mostrarse que c_7=\dfrac{10c_1}{7!}.

Con ayuda de Maxima, usted puede encontrar fácilmente las derivadas sucesivas de la EDO dada, usando la siguiente secuencia de comandos:

eq:'diff(y(x),x,2)-x*y(x)=0$ /* escribir como y(x) */
n:5$ /* <- poner aqui la derivada n+2 deseada */
diff(eq,x,n)$
solve(%,'diff(y(x),x,n+2));Maxima

Con base en los resultados, se tiene:

y(x)=c_0 + c_1x + \dfrac{1}{3!}c_0x^3 + \dfrac{2}{4!}c_1x^4 + \dfrac{4}{6!}c_0x^6 + \dfrac{10}{7!}c_1x^7 + \cdots
El resultado puede escribirse en la forma:
y(x)=c_0\left( 1+\dfrac{1}{3!}x^3 + \dfrac{4}{6!}x^6 + \cdots \right) + c_1\left(x+\dfrac{2}{4!}x^4 + \dfrac{10}{7!}x^7 + \cdots \right)

Si asignamos los valores c_0=1, c_1=1 y graficamos las soluciones obtenidas y_1 y y_2, para 6 términos de la serie, se obtiene la gráfica ilustrada en la figura 1.

Soluciones E.D de Airy

Figura 1. Soluciones y_1 y y_2 de la E.D de Airy para 6 términos de las series.

 

2-Mediante el método de coeficientes indeterminados:

Al sustituir las series correspondientes a la función y su segunda derivada, resulta la identidad:
\sum\limits_{k=0}^{\infty}k(k-1)c_k x^{k-2} - \sum\limits_{k=0}^{\infty}c_k x^{k+1} \equiv 0
Para poder agrupar las sumatorias en una sola, es necesario que sus índices coincidan, para que los términos agrupados correspondan a las mismas potencias de la variable. Para esto, hacemos los cambios de variables n=k-2 en la primera sumatoria y n=k+1 en la segunda.
Así las cosas, la identidad anterior queda en la forma:
\sum\limits_{n=-2}^{\infty}(n+2)(n+1)c_{n+2} x^n - \sum\limits_{n=1}^{\infty}c_{n-1} x^n \equiv 0
Desarrollando los tres primeros términos de la primera sumatoria, resulta:
0\cdot c_0x^{-2} +0\cdot c_1x^{-1} + 2c_2x^0 + \sum\limits_{n=0}^{\infty}[(n+2)(n+1)c_{n+2}-c_{n-1}]x^n \equiv 0
A partir de la identidad se concluye que todos los sumandos deben ser iguales a cero, esto es:
0\cdot c_0=0 \quad 0\cdot c_1=0 \quad 2c_2=0 \quad (n+2)(n+1)c_{n+2}-c_{n-1}=0 \;\text{ para } n=1,2,3,\ldots
De la expresión anterior se sigue que: c_0 \neq 0, c_1 \neq 0 y c_2 = 0. Por otro lado, resulta una ecuación que permite hallar los demás coeficientes, conocida como ecuación de recurrencia y viene dada por:
c_{n+2}=\dfrac{c_{n-1}}{(n+1)(n+2)} \quad \text{ para } n=1,2,3,\ldots
A partir de la ecuación de recurrencia, se obtienen los coeficientes:
c_3=\dfrac{c_0}{2\cdot 3} \quad c_4=\dfrac{c_1}{3\cdot 4} \quad c_5=\dfrac{c_2}{4\cdot 5}=0 ,\quad  c_6=\dfrac{c_3}{5\cdot 6}=\dfrac{c_0}{2\cdot 3\cdot 5\cdot 6} ,\quad  c_7=\dfrac{c_4}{6\cdot 7}=\dfrac{c_1}{3\cdot 4\cdot 6\cdot 7} ,\quad  c_8= 0 ,\quad \ldots
La solución se puede escribir como:
y(x)= c_0 + c_1x + \dfrac{c_0}{3!}x^3 + \dfrac{2c_1}{4!}x^4 + \dfrac{4c_0}{6!}x^6 + \dfrac{2\cdot 5c_1}{7!}x^7 +\dfrac{7c_0}{9!}x^9 + \cdots
Finalmente, la solución queda en la forma:
y(x)= c_0\left( 1+ \dfrac{1}{3!}x^3 +\dfrac{4}{6!}x^6 + \cdots \right) + c_1\left( x +\dfrac{2}{4!}x^4 + \dfrac{2\cdot 5}{7!}x^7 + \cdots \right)

Esta solución es la misma obtenida previamente mediante el procedimiento de derivación sucesiva.

Los productos sucesivos 1\cdot 4\cdot 7 \cdots y 2\cdot 5\cdot 8\cdots se pueden escribir más compactamente mediante la notación Pochhammer así:

3^k\left(\alpha+\frac{1}{3}\right)_k = (3\alpha + 1)\cdot(3\alpha + 4)\cdots(3\alpha + 3k- 2)

Con \alpha=0 para y_1  y \alpha=1  para y_2.

Con esto, la solución encontrada se puede escribir como:
y_1 = 1+ \dfrac{1}{3!}x^3 +\dfrac{1\cdot 4}{6!}x^6 + \dfrac{1\cdot 4\cdot 7}{9!}x^9 + \cdots  = \sum\limits_{k=0}^{\infty}{3^k\left(\dfrac{1}{3}\right)_k\dfrac{x^{3k}}{(3k)!}} \\  y_2 = x +\dfrac{2}{4!}x^4 + \dfrac{2\cdot 5}{7!}x^7 + \dfrac{2\cdot 5\cdot 8}{10!}x^{10} + \cdots  =\sum\limits_{k=0}^{\infty}{3^k\left(\dfrac{2}{3}\right)_k\dfrac{x^{3k+1}}{(3k+1)!}}

Haciendo uso de las propiedades lineales en el Conjunto Fundamental de Soluciones (CFS), tenemos que cualquier combinación lineal de las soluciones y_1, y_2 ( por ejemplo: y=y_1+y_2) también será solución de la E.D dada.  Dicho esto, podemos decir que las soluciones de la ecuación de Airy (funciones de Airy) se escriben como combinaciones lineales de las funciones y_1 y y_2, así:

Ai(x)=k_1y_1 -k_2y_2 \quad Bi(x)=\sqrt{3}[k_1y_1+k_2y_2]
Donde:
k_1 = 3^{-2/3}\Gamma(\frac{2}{3}) \approx 0.35503
k_2 = 3^{-1/3}\Gamma(\frac{1}{3}) \approx 0.25882

De tal forma que la solución de la ecuación diferencial es:
y(x)=c_1Ai(x) + c_2Bi(x)

En la figura 2 se ilustra la gráficas de las funciones de Airy Ai(x), Bi(x) y sus aproximaciones mediante 6 términos de la series obtenidas, denotadas como y_a, y_b.  Observen que las aproximaciones convergen en un intervalo relativamente pequeño (-3<x<3) comparado con el dominio de la función.

Funciones de Airy y aproximación

Figura 2. Funciones de Airy y su aproximación a 6 términos de la serie.

Si graficamos las soluciones con muchos términos, se obtienen las funciones de Airy ilustradas en la figura 3.

Funciones de Airy

Figura 3. Funciones de Airy.

Como se puede observar, las funciones de Airy son oscilatorias para x<0, pero sin un período fijo (aumenta conforme x se aproxima a cero), mientras que para x>0 Ai(x) decrece lentamente y Bi(x) crece indefinidamente.  Usando la función ai_zeros() y bi_zeros() en ipython podemos calcular los zeros de las funciones Ai(x) y B(x).  La siguiente tabla ilustra los primeros 10 ceros y la figura 4 muestra las gráficas para 5 ceros.

ZerosAiry

Tabla 1. Ceros de las funciones de Airy.

Ceros Airy

Figura 4. Ceros de las funciones de Airy.

Finalmente podemos decir que las funciones de Airy tienen una transición en x=0 de comportamiento oscilatorio a exponencial(creciente para Bi(x) y decrececiente para Ai(x) ).

El código en ipython mediante el cual fueron obtenidas las gráficas pueden descargarlo en el link:

https://www.wakari.io/sharing/bundle/adrianmlince/Airy

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