Ejemplos T.E.U y E.D Homogénea

Ejemplos de TEU y solución de E.D homogéneas

Ejemplo 1:

y' = \sqrt{\dfrac{x}{y-x}}+\dfrac{y}{x}

Aplicando el TEU:

Sea f(x,y) = \sqrt{\dfrac{x}{y-x}}+\dfrac{y}{x}.  Para que la función exista se debe tener que: y -x\neq 0 , x \neq 0  y también \dfrac{x}{y-x} >0 .  Esto implica las regiones:

(x>0 \wedge y-x>0) \vee (x<0 \wedge y-x<0) \vee x \neq 0

Es claro que la región x \neq 0  corresponde al plano xy, excepto el eje “y”.  Por otro lado, tampoco se incluye la recta y=x.

La región resultante de la intersección de las regiones x>0  y  y>x, se ilustra en gris oscuro en la figura 1.1:

TEU-Ej1-Fig1-1

Figura 1.1. Región x>0 && y>x

Para la otra intersección de regiones, tenemos:

TEU-Ej1-Fig1-2

Figura 1.2. Región x<0 && y<x

Ahora para la derivada de la función con respecto a “y”, nos queda:

f_y= -\frac{1}{2}\sqrt{x}(y-x)^{-3/2} +\dfrac{1}{x}=-\dfrac{1}{2(y-x)}\sqrt{\dfrac{x}{y-x}} +\dfrac{1}{x}

En este caso, nos quedan las mismas regiones: y-x \neq 0, x \neq 0 .

Solucionando la E.D dada, tenemos que es es una E.D Homogénea.  Por tanto, haciendo el cambio de variable y=u x , nos queda:

u + x\dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{\sqrt{u-1}}+u

\sqrt{u-1}du = \dfrac{dx}{x}

\int{\sqrt{u-1}du} =\ln(C x)

\dfrac{2}{3}(u-1)^{3/2} = \ln(Cx)

Y retornando a la variable original:

(\frac{y}{x}-1)^{3/2} = \dfrac{3}{2}\ln(C x)

La gráfica de la familia de curvas se ilustra en la figura 1.3: (realizada con kmplot)

Figura 1.3. Solución ejemplo 1

Figura 1.3. Solución ejemplo 1

Como puede verse la familia de curvas existe únicamente en la región del TEU.

La solución mediante Máxima:

(%i1)   ode2('diff(y,x)=sqrt(x/(y-x))+y/x,y,x);Maxima

(%o1) \%c\,x={e}^{\frac{2\,{\left( \frac{y-x}{x}\right) }^{\frac{3}{2}}}{3}} 

Solución mediante Matlab:

>> dsolve('Dy=sqrt(x/(y-x))+y/x','x')Matlab
ans =x*((C15 + (3*log(x))/2)^(2/3) + 1)

Ejemplo 2:

y' = \dfrac{1}{\sqrt{1-(\frac{y}{x})^2 }}+\dfrac{y}{x}

Aplicando el TEU: f(x,y)=\dfrac{1}{\sqrt{1-(\frac{y}{x})^2 }}+\dfrac{y}{x}.  Encontramos las regiones de continuidad:

x \neq 0, x^2-y^2 \neq 0  y  1-(\frac{y}{x})^2 >0. La segunda región se pueden escribir como:

x^2-y^2>0

(x-y)(x+y)>0

(x-y>0 \wedge x+y>0) \vee (x-y<0 \wedge x+y<0)

La primera región resultante de la intersección, se ilustra en la figura 2.1:

Figura 2.1. Región

Figura 2.1. Región x-y>0 && x+y>0

Para la región resultante de la segunda intersección, tenemos:

Figura 2.2. Región

Figura 2.2. Región x-y<0 && x+y<0

Para la derivada con respecto a “y”, nos queda:

f_y= -\frac{1}{2}[1-(\frac{y}{x})^2]^{-3/2}(2\frac{y}{x^2})+\dfrac{1}{x} = -\dfrac{y}{x^2-y^2}\dfrac{1}{\sqrt{1-(\frac{y}{x})^2}} + \dfrac{1}{x}

Estas regiones son las mismas halladas previamente.   Recuerde que no se incluyen las rectas y = \pm x

Es claro que la E.D dada es homogénea, así que mediante el cambio de variable y=u x nos queda:

u+x\dfrac{du}{dx}=\dfrac{1}{\sqrt{1-u^2}}+u

x\dfrac{du}{dx}=\dfrac{1}{\sqrt{1-u^2}}

{\sqrt{1-u^2 }}du = \dfrac{dx}{x}

\int{\sqrt{1-u^2 }}du = \ln(C x)

\frac{1}{2}\arcsin(u)+\frac{1}{2}u\sqrt{1-u^2} = \ln(C x)

\arcsin(u)+u\sqrt{1-u^2}=2\ln(C x)

Retornando a la variable original y simplificando, se obtiene:

\arcsin(\frac{y}{x})+\dfrac{y}{x}\sqrt{1-(\frac{y}{x})^2} = 2\ln(C x)

Cuya gráfica se puede ver en la figura 2.3:

Ej2-homogenea-TEU

Figura 2.3. Solución ejemplo 2

Se puede ver que la familia de curvas existe en la región del TEU.

La solución mediante Máxima:

(%i1)  ode2('diff(y,x)=1/sqrt(1-y^2/x^2)+y/x,y,x);Maxima

(%o1) \frac{2\,{x}^{2}\,\int \int \frac{\sqrt{{x}^{2}-{y}^{2}}\,\left( 2\,{y}^{2}-{x}^{2}\right) }{{x}^{3}\,{y}^{2}-{x}^{5}}dxdy-2\,{x}^{2}\,\int \frac{y\,\sqrt{{x}^{2}-{y}^{2}}+x\,\left| x\right| }{{x}^{3}}dx+{x}^{2}\,\mathrm{asin}\left( \frac{y}{\left| x\right| }\right) +y\,\sqrt{{x}^{2}-{y}^{2}}}{2\,{x}^{2}}=\%c 

Solución mediante Matlab:

>> dsolve('Dy=1/sqrt(1-y^2/x^2)+y/x','x')Matlab
Warning: Explicit solution could not be found; implicit solution returned. 
> In dsolve at 201 Warning: The solutions are parametrized by the symbols: z = solve(arcsin(u3) + u3*(1 - u3^2)^(1/2) = 2*C10 + 2*log(x), u3, NoWarning) 
> In dsolve at 209 ans =x*z

En ambos casos se observa que el software no es capaz de entregar una expresión simplificada.

Para más ejemplos del uso del software vea el siguiente tutorial:

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