Ejemplos Ecuaciones de orden superior

1.) Encuentre la solución general de la E.D: y''+y=\cos(x)

Solución:

Usando la notación de operador inverso, la E.D nos queda: (D^2+1)y(x)=\cos(x)

El polinomio característico es: p(\lambda)=\lambda^2+1=0, de donde: \lambda=\pm j

Por lo tanto el conjunto fundamental de soluciones está dado por: CFS=\{\sin(x), \cos(x)\}.  O lo que es lo mismo, la solución de la homogénea asociada es: y_c=c_1\sin(x)+c_2\cos(x).

Para la solución particular, aplicamos el método del operador inverso:

y_{ss}=\dfrac{\cos(x)}{(D^2+1)_{D^2=-1}}=x\dfrac{\cos(x)}{(2 D)_{D^2=-1}}=\dfrac{x}{2}\dfrac{\cos(x)}{(D)_{D^2=-1}}

Observe que el operador D^2+1 se hace cero al evaluarlo en D^2=-1, lo que indica que la excitación r(x)=\sin(x) es L.D con el CFS.  Por esta razón es necesario multiplicar por x y derivar el polinomio del operador inverso, como se puede ver en la ecuación arriba.  Ahora únicamente hay que aplicar el operador 1/D sobre la excitación, es decir, realizar la integral: \int{\cos(x)dx}=\sin(x). Con lo cual, la solución en estado estacionario nos queda:

y_{ss}=\dfrac{x}{2}\sin(x)

Un procedimiento alterno, para evitar la integral, consiste en multiplicar arriba y abajo del operador, por D (buscando un D^2 en el denominador), con lo cual obtenemos el operador \dfrac{D}{D^2} sobre la función excitación, lo que implicará reemplazar D^2=-1 en el denominador y para en el numerador, derivar la excitación.  Esto es:

y_{ss} = x\dfrac{\cos(x)}{(2D)_{D^2=-1}}=\dfrac{x}{2}\dfrac{D\cos(x)}{(D^2)_{D^2=-1}}=\dfrac{x}{2}\dfrac{(-\sin(x))}{(-1)} =\dfrac{x}{2}\sin(x)

La solución general nos queda: y=c_1\sin(x)+c_2\cos(x)+\dfrac{x}{2}\sin(x)

Si aplicamos el Método de reducción de orden, conociendo que: y_1=\sin(x).  Aunque ya sabemos que y_2=\cos(x), vamos a encontrarla mediante este método, a fin de ilustrarlo:

\phi = y_1^2 e^{\int{p(x)dx}}=\sin(x)^2 e^{0}=\sin(x)^2

La segunda solución está dada por:

y_2=y_1 \int{\phi^{-1}}dx=\sin(x)\int{csc(x)^2}dx=\sin(x)(-\cot(x))=-\cos(x)

Por lo tanto, la solución de la homogénea asociada es: y=c_1\sin(x)+c_2(-\cos(x))=c_1\sin(x)+C_2\cos(x) .  Observe que el signo (o cualquier otro factor) es absorbido por la constante. Por lo tanto el CFS es: CFS=\{\sin(x), \cos(x)\}.

La solución particular está dada por: y_{ss}=y_1\int{\phi^{-1}\int{\dfrac{\phi r(x)}{y_1}}dx}dx , con r(x)=\cos(x).

y_{ss}= y_1\int{\phi^{-1}\int{\dfrac{\sin(x)^2\cos(x)}{\sin(x)}}dx}dx=y_1\int{\phi^{-1}\int{\sin(x)\cos(x)}dx}dx

Recordemos que: 2\sin(x)\cos(x)=\sin(2x).  Por lo tanto:

y_{ss}=y_1\int{\phi^{-1}\dfrac{1}{2}\int{(\sin(2x))}dx}dx=\dfrac{1}{2}y_1\int{\sin(x)^{-2}(-\dfrac{\cos(2x)}{2})}dx = -\dfrac{y_1}{4}\int{\dfrac{\cos(2x)}{\sin(x)^2}}dx

Usando el hecho de que: \cos(2x)=\cos(x)^2-\sin(x)^2, entonces, podemos escribir la integral como:

y_{ss}=-\dfrac{y_1}{4}\int{(\cot(x)^2-1)}dx=-\dfrac{y_1}{4}[(-\cot(x)-x)-x]=\dfrac{\sin(x)}{4}[\cot(x)+2x]=\dfrac{\cos(x)}{4}+x\dfrac{\sin(x)}{2}

Recordemos que:\int{\cot(x)^2}dx=-\cot(x)-x (mediante tablas de integrales).

Como se puede ver, en la solución particular, aparece el término adicional: \dfrac{\cos(x)}{4},pero éste es L.D con el CFS, que será absorbido por la constante de integración en la solución general .  Veamos:

La solución general es:

y=c_1\sin(x)+c_2\cos(x)+\dfrac{\cos(x)}{4}+x\dfrac{\sin(x)}{2}

y=c_1\sin(x)+(c_2+1/4)\cos(x)+x\dfrac{\sin(x)}{2}

y=c_1\sin(x)+C_2\cos(x)+x\dfrac{\sin(x)}{2}

Esto quiere decir que el término: \dfrac{\cos(x)}{4} L.D con el CFS en la solución particular NO hace parte de la solución particular.  Entonces, la solución en estado estacionario nos queda igual a la hallada por el método de operador inverso:

y_{ss}=x\dfrac{\sin(x)}{2}

Si usamos en Método de coeficientes indeterminados:

Lo primero que debemos saber es que: CFS=\{\sin(x), \cos(x)\}.  Y con la excitación: r(x)=\cos(x) construimos el conjunto solución a partir de ella y sus derivadas sucesivas, esto es:

Derivando sucesivamente, se obtiene: -\sin(x),-\cos(x),\sin(x),\cos(x),-\sin(x), .... Por lo tanto las funciones fundamentales que aparecen en este proceso son:

A=\{ \sin(x), \cos(x)\} .

Pero este conjunto A es L.D con el CFS, por tanto es necesario multiplicarlo por x para que sea L.I, esto es:

A= x\{\sin(x), \cos(x)\} .

Por lo tanto, la solución particular tendrá la forma: y_{ss}=A x\sin(x)+ B x \cos(x)

Ahora lo que debemos hacer es derivar y reemplazar en la E.D original:

Derivando:

y_{ss}' = A(x\cos(x)+\sin(x))+B(-x\sin(x)+\cos(x))

y_{ss}''=A(-x\sin(x)+2\cos(x))+B(-x\cos(x)-2\sin(x))

Y reemplazando en la E.D: y''+y=\cos(x) , nos queda:

A(-x\sin(x)+2\cos(x))+B(-x\cos(x)-2\sin(x)) +A x\sin(x)+B x\cos(x)= \cos(x)

Agrupando términos, y simplificando, nos queda:

2A\cos(x)-2B\sin(x)=\cos(x)

Para que se cumpla esta igualdad, entonces se debe cumplir que: 2A=1 y -2B=0. De donde, nos queda, que la solución particular es:

y_{ss}=\dfrac{x}{2}\sin(x)

Como puede verse, por cualquier método se debe llegar a la misma solución:

y(x)=c_1\sin(x)+c_2\cos(x)+\dfrac{x}{2}\sin(x)

Si tenemos un P.V.I en el que c_1=1  y  c_2=0, obtenemos la siguiente figura:

EDOrdenSuperiorResonancia

Observe que la respuesta obtenida es una señal oscilatoria cuya amplitud crece linealmente.

Este ejercicio puede modelar un sistema Masa-resorte en el que no se tiene fuerza de fricción (B=0) y que está sometido a una fuerza externa (excitación r(x)) de carácter senoidal con una frecuencia igual a la frecuencia natural de oscilación del sistema. Esto es lo mismo que decir que se excita con una señal L.D con el CFS.  Como se vio, la respuesta particular es una función seno cuya amplitud crece linealmente!, este fenómeno es llamado “Resonancia”.

Un caso muy conocido que ilustra este fenómeno es el caso del Puente de Tacoma.  Un error de cálculo de los ingenieros hizo que el viento (excitación r(x)) entrara en “resonancia” con la frecuencia natural de torsión del puente; de esta manera las amplitudes de su oscilación crecieron linealmente hasta que la estructura colapsó.

Solución usando Maxima:

La secuencia de comandos para obtener la solución simbólica y su gráfica con ayuda de Maxima es:

eq:'diff(y,x,2)+y=cos(x)$Maxima
ode2(eq,y,x)$
ic2(%,x=0,y=0,'diff(y,x)=0)$ratsimp(%);
plot2d(rhs(%),[x,0,15*%pi]);

Cuyo resultado es:

y=(x*sin(x))/2Maxima

Y la gráfica:

SolMaxima-Resonancia

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